Es una expresión por "pedir, solicitar algo de valor (generalmente dinero)". Hace una analogía con los chicos que tiran insistentemente de la manga en la ropa de los padres para llamar su atención y pedir algo; o con los mendigos que hacen lo mismo cuando piden limosna en la puerta de las iglesias. Ver manguear.
"Cuando alguien pasa por su lado, ignorándolo, le tira de la manga. Y oigan. Como dice un amigo mío, camarero de un bar próximo, si no fuera mendigo le iba a tirar de la manga a su puta madre. Pero no hay otra que aguantarse."